Quindi il mistero è ora apparentemente risolto. La terza password richiesta (apparentemente) era la password utente macOS dell'account in cui utilizzo lo stesso ID Apple sul mio Mac.
Questa password non è stata accettata nella terza fase di verifica nel mio caso (apparentemente) perché avevo utilizzato lo stesso ID Apple (in parte a scopo di test in relazione a questo stesso problema) con account utente diversi su quel Mac. Questo è chiaramente un caso d'angolo, perché la maggior parte dei Mac presumibilmente ha solo un account installato.
Il problema è andato via scegliendo "Hai dimenticato la password del Mac?" e quindi "Ripristina dati crittografati" quando iOS ha richiesto la terza password. La descrizione dettagliata degli ultimi passaggi è la seguente:
End-to-end encrypted data stored in iCloud will be permanently
deleted. This may include Messages in iCloud, saved passwords and home
data. Are you sure you want to continue?
Mi è stato detto che, nonostante questa descrizione, ciò che verrebbe eliminato sono solo le credenziali e il fatto che io possa ancora vedere ad es. gli elementi del calendario condivisi tramite iCloud sia sul mio iPhone che sul Mac dopo aver eseguito questa procedura sembra confermarlo.
Dopo questo intervento, iOS non mi ricorda più che dovrei "aggiornare le impostazioni dell'ID Apple" e tutto sembra tornato normale.