Che cosa stai chiamando Core Java è in realtà noto come Java Standard Edition (SE) e Enterprise Java è Java Enterprise Edition (EE).
Java SE è l'API Java di base che costituisce il 99,9% delle funzionalità Java che conosci e ami, cioè, a meno che tu non sia uno sviluppatore aziendale che crea applicazioni java per applicazioni su larga scala (si pensi alle server farm).
Java EE è l'API costruita sopra l'API SE per fornire gli strumenti necessari per realizzare progetti su larga scala più facilmente.
Per farla breve, probabilmente vorrai usare l'edizione SE.