Ho anche questo problema (Mac del 2012 con El Capitan 10.11.5). Ho non avuto questo problema sul mio Mac Mini 2007 con 10.6.8 con una configurazione simile (eccetto l'uso di DVI invece di HDMI). Quando chiudo lo screen sharing per Mac o TouchPad su iOS, o cambio app iOS o blocco del telefono, Mac Mini disattiva il video esterno.
La soluzione che ho trovato è:
Premi pausa / riproduzione su Apple Remote (il telecomando fisico a infrarossi - non un'app) dopo aver avviato il video, prima di chiudere la condivisione dello schermo. Quindi dovresti essere in grado di chiudere la condivisione dello schermo e lo schermo rimarrà acceso. Ho anche fatto questo con il mouse bluetooth Apple e funziona pure.
Puoi anche farlo svegliando il Mac Mini con il telecomando prima di iniziare la condivisione dello schermo, se ricordi. Fastidioso, dal momento che spesso aprirà e inizierà a riprodurre iTunes.
Sembra che il Mac abbia bisogno di un input da un dispositivo fisico (mouse o remoto) dopo essersi svegliato per evitare che riattivi lo schermo.
Andando a provare la casella di controllo Gestione remota anche per vedere se questo aiuta.