Per quanto ne so, tecnicamente non è un modo per disabilitare specificamente il suono dell'otturatore della fotocamera per gli screenshot, ma ci sono ancora soluzioni per impedirgli di emettere il suono:
Una cosa che puoi fare è capovolgere l'interruttore di attivazione / disattivazione audio sul lato del dispositivo da disattivare (silenzioso / vibrazione). Verrà visualizzata un'icona di Suoneria silenziosa sullo schermo e potrebbe percepire una vibrazione su un iPhone. Dopodiché, non ci saranno rumori dallo screenshot (tra le altre cose).
Su un iPhone, se non vuoi ottenere la vibrazione quando giri il telefono in modalità silenziosa, o se vuoi lasciarlo in modalità silenziosa senza ottenere vibrazioni, puoi andare su Impostazioni > Suona e attiva "Vibrate on Silent". Quindi non vibrerà o farà alcun rumore. Tuttavia, non sentirai alcun suono o vibrazione di notifica, quindi corri il rischio di perdere alcuni avvisi. Quindi, in questo caso, ciò che vorresti fare è capovolgere l'interruttore muto in modalità silenziosa prima di scattare uno screenshot (e non emetterà alcun rumore dalle vibrazioni), e poi dopo lo screenshot riportarlo alla normalità.
Un'altra alternativa, se non ti dispiace il suono dell'otturatore della fotocamera, ma lo vuoi solo più tranquillo, è in Impostazioni > Suoni puoi far scorrere Suoneria e Avvisi al minimo. Farà comunque suoni, solo in silenzio. Ma di nuovo corri il rischio di perdere il telefono squillando in alcune situazioni in quanto sarà silenzioso.
Modifica: ho notato che su iOS 10.3, quando si attiva l'interruttore di silenziamento quando la fotocamera è aperta, non emette vibrazioni. In questo modo puoi semplicemente disattivarlo prima di riprendere l'immagine e tornare alla normalità quando hai finito.