Permutendo una lista di numeri per ottenere una lista che soddisfi le condizioni date

Question

Permutendo una lista di numeri per ottenere una lista che soddisfi le condizioni date

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Ecco un problema algoritmico che sto cercando di risolvere:

Given a list [x_1,x_2,...,x_n] return a permutation of elements of the list [y_1,y_2,...,y_n] (where for each i we have y_i = x_j for only one j) which maximises the sum from k=1 to k=n-1 of |y_k-y_(k+1)|.

Quindi per semplificare - otteniamo un elenco di numeri interi e dobbiamo "mescolare" questi numeri in modo tale da ottenere un elenco in cui prendiamo la somma di tutti |y_m-y_n| tale che y_m e y_n sono uno accanto all'altro, otteniamo il numero massimo possibile di tutte le permutazioni degli elementi nell'elenco.

Penso che questo possa essere risolto in O(n*log n) , ho pensato di ordinare l'elenco e di restituire una lista in cui il primo elemento è l'elemento massimo, l'elemento successivo è minimo, il prossimo è il massimo di quelli a sinistra, ecc ... Ma questo porta verso il nulla, non posso provare che sia corretto, quindi probabilmente non lo è. Quindi, qualche consiglio su come affrontare questo problema?

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posta qiubit 12.12.2014 - 23:30

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Che ci crediate o no, questo problema è risolvibile in tempo O(n) .

Per prima cosa, lascia che m sia la mediana dell'array. Per una coppia (x, y) vicina l'una all'altra, definisci il contributo di x da quella coppia come:

def contribution (x, y, m):
    if m < x:
        if x < y:
            return 0
        elif y < m:
            return x - m
        else:
            return x - y
    else:
        if y < x:
            return 0
        elif m < y:
            return m - x
        else:
            return y - x

Questa definizione è un po 'complessa, ma nota che contribution(x, y, m) + contribution(y, x, m) == |x - y| . E la somma che stai cercando è la somma di tutti i contributi di tutti gli elementi a entrambe le coppie.

Il modo per massimizzare il contributo di un elemento è di averlo con gli elementi sull'altro lato della mediana accanto ad esso su ciascun lato. Quali elementi non contano, solo dall'altra parte della mediana. E gli elementi sul bordo fanno solo la metà del loro contributo, quindi è chiaro che vuoi i due elementi più vicini alla mediana alle estremità. Quindi questo ci dice esattamente quale sia la permutazione che vogliamo. Vogliamo che i due elementi alle estremità siano il più vicino possibile alla mediana, mentre si alternano sopra / sotto.

Ora che lo comprendiamo, possiamo utilizzare il collegamento per trovare la mediana in O(n) di tempo. Il partizionamento dell'array e l'identificazione dei due elementi da mettere alla fine possono quindi essere eseguiti in O(n) time. E poi l'interlacciatura è anche O(n) per un algoritmo O(n) .