Supponendo che la vulnerabilità CSRF esistente sia basata sulla presenza di un cookie di accesso, la risposta semplice è no (nel caso generale).
Browser diversi (ad es. IE / FF / GC / Safari) gestiscono ciascuno i propri cookie e l'accesso a uno non avrà alcun effetto sui cookie per un altro browser.
Tuttavia, ci sono altri difetti CSRF che non sono basati sui cookie, che potrebbero essere rilevanti per altri browser.
Ad esempio, CSRF basato su autenticazione integrata di Windows sarebbe pertinente per IE, anche se si è effettuato il login su FF. O qualsiasi altra gestione di autenticazione / sessione non basata su cookie, incluse sessioni basate su flash, ecc.