Se si utilizza la VPN, è possibile eseguire il tunneling di tutto il traffico, compreso il DNS, attraverso il tunnel, e quindi l'università non vedrà ciò che si sta facendo online. Possono vedere il tunnel però.
Quello che cerchi da HTTPS di Google deve essere crittografato, anche quando non è su VPN. Le parole chiave nell'URL dovrebbero apparire crittografate nei log. Questo è il modo in cui lo capisco, ma non l'ho testato, quindi non sono sicuro al 100% se è effettivamente così.
Tuttavia ... le organizzazioni possono agire come MITM (man in the middle) per i certificati SSL. Per farlo funzionare hanno bisogno di installare il proprio certificato di root sul tuo computer. Possono richiedere di farlo. Ciò significa che possono vedere i tuoi dati di accesso su Facebook e Gmail, se lo desiderano, e vedere la query in quell'URL HTTPS di Google. Se hai fiducia nella tua università, non lo faranno in generale. Se sei un paese in cui i diritti umani non sono in cima all'ordine del giorno, potrebbero farlo (o il servizio segreto laggiù).
Ma se usi VPN, non funzionerà con l'impostazione della connessione e del traffico attraverso quel tunnel, quindi penso che sia sicuro.