Is it better to create new Apple ID for my developer account, or is it ok to use my existing one?
Consiglierei di crearne uno nuovo. Apple non sembra interessata in alcun modo, ma di solito è una buona idea separare i due account.
And what are the rules regarding names (like can I use nickname or I have to use my real one)?
Devi usare il tuo vero nome. Questo è per l'identificazione e dal momento che l'accordo è giuridicamente vincolante, non rischierei di farlo (in più, vuoi davvero che DenverCoder9 compaia nei tuoi record bancari?).