Prima di fare qualsiasi cosa per il vecchio telefono, fagli installare il suo nuovo e accedi al suo account iCloud.
Per rispondere alla tua domanda, sì. Quando rimuovi il suo account iCloud dal suo vecchio iPhone, tutto sarà ancora sul suo nuovo telefono. Quando rimuovi il suo account iCloud, non stai "cancellando" l'account stesso, ma solo le copie dei suoi contenuti (app, giochi, musica, film, libri e così via) memorizzati localmente sul suo vecchio iPhone.
Se hai un Mac, ti suggerisco di farlo accedere al suo account, collegare il suo vecchio iPhone al Mac e fare un backup di esso in iTunes, quindi collegare il suo nuovo iPhone e ripristinare il backup del suo vecchio telefono al suo nuovo telefono.
La maggior parte delle app in questi giorni ha account o sincronizzazioni proprie, quindi non dovresti preoccuparti di loro. Tuttavia, se ciò che ho suggerito nell'ultimo paragrafo non funziona, basta che dia il suo vecchio telefono un'ultima volta per assicurarsi che non dimentichi nulla di importante.
Una volta che ha tutto ciò che vuole dal suo vecchio telefono, vai su Impostazioni > > Generale > > Reimposta > > Cancella tutto il contenuto e le impostazioni, quindi premi "Cancella iPhone" quando richiesto. Fallo e tutti i suoi dati verranno rimossi dal suo vecchio telefono e potrai farne ciò che vuoi, senza che il suo nuovo telefono ne risenta.
Ulteriori informazioni sulla reimpostazione di fabbrica di un iPhone e anche sul backup e sul ripristino sono disponibili qui: link