Se il tuo telefono è collegato a un account iCloud, prova a navigare su link e accedi con le tue credenziali. Una volta effettuato l'accesso, c'è un'app Contatti che dovrebbe contenere la tua rubrica.
Se non hai iCloud potresti usare iTunes come sopra, ma non ti permetterà di accedere direttamente ai tuoi contatti. Prova applicazioni alternative come Syncios, Appandora o iTools.
Se questa non è un'opzione, puoi provare a eseguire il backup del tuo vecchio iPhone con iTunes e ripristinarlo su un altro iPhone.
Un'altra opzione è quella di sostituire lo schermo e sperare per il meglio. Mentre la riparazione di un 4S potrebbe non avere senso, sono disponibili schermi ricondizionati o OEM a basso costo. Se non vuoi usarlo in seguito, diventa un regalo perfetto per ogni bambino. Sostituire uno schermo su un nuovo iPhone (5 e versioni successive) è facile da usare, ma sostituirlo con uno su 4 o 4S non è assolutamente per i deboli di cuore.
Se nessuna di queste soluzioni funziona per te, temo che sia un caso perduto.