Ho un iPhone 5c con iOS 9.3.1
Perché iMessage mi fornisce solo suoni e avvisi quando un messaggio proviene da un numero di telefono e non quando proviene da un indirizzo email?
Sull'iPhone vai su Settings --> Notifications --> Messages e assicurati che quanto segue sia tutto acceso, a seconda di cosa vuoi:
Allow Notifications Show in Notification Center Sounds --> <select sound> Badge App Icon Show on Lock Screen Sotto Alert Style When Unlocked seleziona Banners o Alerts , a seconda di come vuoi essere avvisato.
Come menzionato da @bmike, l'impostazione Do Not Disturb avrà effetto se gli avvisi arrivano o meno.